Mittelwert
Der Mittelwert ist ein Begriff aus der Statistik für den umgangssprachlich vereinfachend auch Durchschnittswert gebraucht wird. Eine Definition für Mittelwert ist der statistische Durchschnitt aller Werte einer Verteilung. Mittelwerte sind oft hilfreich um einen Eindruck von Wertegrößen zu bekommen und Veränderungen von Verteilungen anzugeben. Beispiele sind die Jahresdurchschnittstemperatur, die Durchschnittsgeschwindigkeit oder der Durchschnittssteuersatz.
Der Mittelwert darf nicht mit dem Zentralwert verwechselt werden, auch wenn beide Begriffe identisch erscheinen. Bei dem Zentralwert handelt es sich um den Median.
Wie wird ein Mittelwert berechnet, wie lautet die Formel?
Der Mittelwert hat einen entscheidenden Nachteil, Extremwerte in der Grundgesamtheit bzw. stichprobe beeinflussen den Wert überproportional und führen zu Verzerrungen. Deshalb gibt es in der Mathematik verschiedene Ansätze, diesen Einfluss durch unterschiedliche Berücksichtigung der Werte aus zu nivellieren. Das führt zu verschiedenen Berechnungsarten des Mittelwertes, zu unterscheiden sind:
- arithmetischer Mittelwert
- geometrischer Mittelwert
- gewichteter Mittelwert
- quadratischer Mittelwert
- logarithmischer Mittelwert
- gleitender Mittelwert
- harmonischer Mittelwert
Symbol Mittettelwert
Der arithmetische Mittelwert wird am häufigsten verwendet
Um den arithmetischen Mittelwert, der auch als arithmetisches Mittel bezeichnet wird zu berechnen, werden alle Werte der betrachteten Menge addiert und durch die Anzahl dividiert.
Entsprechend lautet die Mittelwert Formel:
X = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 …..xn/N
Der arithmetische Mittelwert kann beispielsweise in Excel leicht berechnet werden, zu finden unter „Mittelwert“ im Menü „Funktion einfügen“.
Beispiel für den arithmetischen Mittelwert
Die Tagesgeld Zinssätze von 10 Banken liegen vor, berechnet werden soll, wie groß der entsprechende Durchschnittswert ist.
| Anbieter | Zinssatz |
| Bank 1 | 0,30% |
| Bank 2 | 0,50% |
| Bank 3 | 0,70% |
| Bank 4 | 0,80% |
| Bank 5 | 0,90% |
| Bank 6 | 1,10% |
| Bank 7 | 1,40% |
| Bank 8 | 1,40% |
| Bank 9 | 1,50% |
| Bank 10 | 1,70% |
Der mittlere arithmetische Zinssatz für Tagesgeld der 10 Banken beträgt 1,03% (Summe Zinssätze Bank1 – Bank 10/10). An diesem Beispiel wird die Aussagekraft des Mittelwertes deutlich. Für den einzelnen Sparer kann der Zinssatz für seine Einlage zwischen 0,30% und 1,7% betragen – ein gewaltiger Unterschied.
Vorteile von Mittelwerten sind Vergleiche von Veränderungen: Durchschnittswerte eignen sich besonders, um Veränderungen von Grundgesamtheiten anzuzeigen. Beispiele dafür sind die Arbeitslosenrate, die Jahresdurchschnittstemperatur
Beispiel TAGIX®: Auch der von uns veröffentlichte Tagesgeld Index TAGIX® ist ein Beispiel für die Berechnung eines arithmetischen Mittelwertes. Der TAGIX® wird täglich aus den Zinssätzen von 136 Banken berechnet.
Beispiel Verbraucherpreisindex/Inflationsrate: Der Verbraucherpreisindex wird als
gewichteter, arithmetischer Mittelwert der Verbraucherpreise verschiedener Waren- und Dienstleistungen in Deutschland berechnet. Die prozentuale Veränderung der Verbraucherpreise zum Vorjahresmonat wird als Inflationsrate bezeichnet.
Weitere Beispiele sind
Das Durchschnittseinkommen eines deutschen Haushaltes, das die das arithmetische Mittel der Einkünfte aller Haushalte dividiert durch die Anzahl darstellt
Der Durchschnittssteuersatz stellt den in prozentualen, arithmetischen mittleren Steuersatz für die gezahlte Einkommensteuer (bzw. eine andere Steuer) dar. Die Berechnung erfolgt indem die zu entrichtende Steuer, die Steuerschuld, das zu versteuernde Einkommen dividiert wird. Da die Angabe in Prozent erfolgt, muß das Rechenergebnis noch mit 100 multipliziert werden.
Nachteile von Mittelwerten: Zu den größten Nachteilen von Mittelwerten gehört eine Simplifizierung vorhandener Ungleichheiten, auch das Vorhandensein von Intervallskalenniveau der Merkmale als Voraussetzung seiner Berechnung soll nicht unerwähnt bleiben. Ein Beispiel für eine fragwürdige Aussagekraft ist das Durchschnittseinkommen, wo der Einfluss durch extrem hohe Einkommen den Mittelwert nach oben verzerrt.
Liegt eine log-Normalverteilung der Werte vor, sollte der arithmetische Mittelwert aus den logarithmierten Werten berechnet werden.
Der geometrische Mittelwert – Berechnung und Formel
Die sinnvolle Voraussetzung zur Berechnung des geometrischen Mittelwertes ist das Vorliegen von positiven reellen Zahlen. Geeignet ist dieses Mittel besonders für Verteilungen, denen nichtlineare Wachstumsvorgänge, wie beispielsweise die Entwicklung von Bakterienkulturen zugrunde liegen. Der geometrische Mittelwert ist immer gleich oder kleiner als der arithmetische Mittelwert.
Zur Berechnung des geometrischen Mittelwertes wird die Wurzel aus dem Produkt der Einzelwerte gezogen
Standardfehler des Mittelwertes
Wird der Mittelwert aus einer Stichprobe einer Grundgesamtheit berechnet, ist der Schätzwert mit einem Fehler behaftet. Werden weitere Stichproben gezogen und davon der Mittelwert berechnet, werden sich die Mittelwerte voneinander unterscheiden.
Der Standardfehler des Mittelwertes (standard error of the mean) entspricht der theoretischen Breite der Streuung der ermittelten Stichprobenmittelwerte bei theoretisch unendlicher Stichprobenzahl aus der Grundgesamtheit.
Dagegen stellt die Standardabweichung des Mittelwertes die tatsächliche Abweichung der Mittelwerte der analysierten Stichproben dar.
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